MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R∖{−1}→Rf : \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x+3x+1f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x+1}. Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff, studiați convexitatea/concavitatea și determinați punctele de inflexiune, și demonstrați că ecuația f(x)=kf(x) = k are exact două soluții reale distincte pentru orice k∈(−∞,2)∪(6,∞)k \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculează derivata întâi a funcției: f′(x)=x2+2x−1(x+1)2f'(x) = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}.
23 puncte
Determină punctele critice rezolvând f′(x)=0f'(x)=0, obținând x1=−1−2x_1 = -1 - \sqrt{2} și x2=−1+2x_2 = -1 + \sqrt{2}, și analizează semnul derivatei pentru a stabili intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,−1−2)(-\infty, -1-\sqrt{2}) și (−1+2,∞)(-1+\sqrt{2}, \infty), descrescătoare pe (−1−2,−1)(-1-\sqrt{2}, -1) și (−1,−1+2)(-1, -1+\sqrt{2}), cu maxim local la x1x_1 și minim local la x2x_2.
32 puncte
Calculează derivata a doua: f′′(x)=4(x+1)3f''(x) = \frac{4}{(x+1)^3}.
42 puncte
Studiază semnul derivatei a doua: pentru x<−1x<-1, f′′(x)<0f''(x)<0 deci ff este concavă; pentru x>−1x>-1, f′′(x)>0f''(x)>0 deci ff este convexă; nu există puncte de inflexiune în domeniu.
51 punct
Folosind monotonia și valorile extreme, arată că f(x1)=2f(x_1)=2 și f(x2)=6f(x_2)=6, și deduce că pentru k<2k<2 sau k>6k>6, ecuația f(x)=kf(x)=k are exact două soluții datorită comportamentului funcției pe intervalele de monotonie.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.