MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția h:R→Rh: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x)=ln⁡(x2+1)h(x) = \ln(x^2 + 1). a) Studiați monotonia funcției hh. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției hh. c) Aflați punctele de extrem local și punctele de inflexiune ale funcției hh.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: h′(x)=2xx2+1h'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.
23 puncte
Studiul semnului lui h′(x)h'(x): numitorul x2+1>0x^2+1 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, deci semnul lui h′(x)h'(x) depinde de numărătorul 2x2x. h′(x)<0h'(x) < 0 pentru x<0x < 0, h′(x)=0h'(x) = 0 pentru x=0x = 0, h′(x)>0h'(x) > 0 pentru x>0x > 0. Astfel, hh este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0], crescătoare pe [0,∞)[0, \infty), cu minim local în x=0x=0 și h(0)=0h(0)=0.
32 puncte
Calculul derivatei a doua: h′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2h''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.
43 puncte
Studiul semnului lui h′′(x)h''(x): numitorul (x2+1)2>0(x^2+1)^2 > 0, deci semnul lui h′′(x)h''(x) depinde de 2(1−x2)2(1-x^2). h′′(x)>0h''(x) > 0 pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1), adică 1−x2>01-x^2 > 0, deci hh este convexă pe [−1,1][-1,1]; h′′(x)<0h''(x) < 0 pentru x<−1x < -1 sau x>1x > 1, deci hh este concavă pe (−∞,−1](-\infty, -1] și [1,∞)[1, \infty); h′′(x)=0h''(x) = 0 pentru x=−1x = -1 și x=1x=1, care sunt puncte de inflexiune, cu h(−1)=ln⁡2h(-1) = \ln 2 și h(1)=ln⁡2h(1) = \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.