MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un produs al cărui cost total de producție este dat de funcția C(x)=x3−6x2+9x+10C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 10, unde xx este cantitatea produsă (în mii de unități), x≥0x \geq 0. Determinați intervalul în care funcția cost marginal este descrescătoare și punctul în care costul marginal este minim. Apoi, studiați convexitatea funcției cost total.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul costului marginal: C′(x)=3x2−12x+9C'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
23 puncte
Derivata costului marginal: C′′(x)=6x−12C''(x) = 6x - 12; studiind semnul, C′′(x)<0C''(x) < 0 pentru x<2x < 2, deci costul marginal este descrescător pe [0,2)[0, 2).
32 puncte
Costul marginal are minim la x=2x = 2, întrucât C′(x)C'(x) are derivata zero și C′′(x)C''(x) schimbă semnul din negativ în pozitiv în x=2x=2.
42 puncte
Convexitatea funcției cost total: C′′(x)=6x−12C''(x) = 6x - 12, deci C′′(x)<0C''(x) < 0 pe [0,2)[0, 2) (funcția este concavă) și C′′(x)>0C''(x) > 0 pe (2,∞)(2, \infty) (funcția este convexă), cu punct de inflexiune la x=2x=2.
51 punct
Interpretare economică: costul marginal scade până la producția de 2 mii unități, minimizând costurile adiționale, apoi crește, iar costul total își schimbă concavitatea la acest punct, indicând o modificare în rata de creștere a costului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.