MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,−3)A(1, -3), B(4,2)B(4, 2) și C(−2,5)C(-2, 5). a) Determinați ecuația dreptei care trece prin A și este perpendiculară pe BC, folosind vectori. b) Calculați distanța de la A la dreapta BC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează vectorul BC⃗=C⃗−B⃗=(−2−4)i⃗+(5−2)j⃗=−6i⃗+3j⃗\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (-2-4)\vec{i} + (5-2)\vec{j} = -6\vec{i} + 3\vec{j}. \
23 puncte
Pentru dreapta perpendiculară pe BC, vectorul director este ortogonal cu BC⃗\vec{BC}. Un vector ortogonal este n⃗=3i⃗+6j⃗\vec{n} = 3\vec{i} + 6\vec{j} (deoarece produsul scalar BC⃗⋅n⃗=(−6)(3)+(3)(6)=0\vec{BC} \cdot \vec{n} = (-6)(3) + (3)(6) = 0). Ecuația dreptei prin A cu vector director n⃗\vec{n}: x−13=y+36\frac{x-1}{3} = \frac{y+3}{6}. \
33 puncte
Pentru distanța de la A la BC, se consideră vectorul AB⃗=B⃗−A⃗=(4−1)i⃗+(2+3)j⃗=3i⃗+5j⃗\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (4-1)\vec{i} + (2+3)\vec{j} = 3\vec{i} + 5\vec{j}. Distanța este dată de d=∣AB⃗⋅u⃗∣∣u⃗∣d = \frac{| \vec{AB} \cdot \vec{u} |}{|\vec{u}|}, unde u⃗\vec{u} este un vector perpendicular pe BC, luăm u⃗=3i⃗+6j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 6\vec{j}. Atunci AB⃗⋅u⃗=(3)(3)+(5)(6)=9+30=39\vec{AB} \cdot \vec{u} = (3)(3) + (5)(6) = 9 + 30 = 39, și ∣u⃗∣=32+62=9+36=45=35|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}. Deci d=3935=135=1355d = \frac{39}{3\sqrt{5}} = \frac{13}{\sqrt{5}} = \frac{13\sqrt{5}}{5}. \
42 puncte
Verificare sau simplificare finală: d=1355d = \frac{13\sqrt{5}}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.