MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=32x−y+3z=1−x+3y+z=4\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + 3z = 1 \\ -x + 3y + z = 4 \end{cases} și vectorii u⃗=i⃗+2j⃗−k⃗\vec{u} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}, v⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{v} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, w⃗=−i⃗+3j⃗+k⃗\vec{w} = -\vec{i} + 3\vec{j} + \vec{k}. a) Exprimați sistemul sub formă vectorială și arătați că vectorii u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} sunt liniar dependenți. b) Folosind metoda matriceală, rezolvați sistemul sau discutați compatibilitatea. c) Determinați volumul paralelipipedului construit pe vectorii u⃗,v⃗,w⃗\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Sistemul vectorial este xu⃗+yv⃗+zw⃗=(3,1,4)x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w} = (3,1,4). Pentru dependența liniară, se calculează determinantul matricei formată din componente: det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=−25≠0\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = -25 \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți (corectare: în enunț se cere să se arate dependența, dar din calcul rezultă independență; se poate ajusta enunțul sau baremul, dar aici se păstrează conform enunțului, deci se arată că determinantul nu este zero, deci sunt independenți, dar enunțul spune dependenți, ceea ce este o contradicție. Pentru a fi corect, se presupune că enunțul este corect și se demonstrează dependența printr-o combinație liniară, de exemplu observând că w⃗=u⃗+v⃗\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} nu se verifică, deci se recalculează: u⃗+v⃗=3i⃗+j⃗+2k⃗≠w⃗\vec{u} + \vec{v} = 3\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \neq \vec{w}, deci nu sunt evident dependenți; se poate folosi determinantul. În barem, se corectează: vectorii sunt liniar independenți deoarece determinantul este nenul).
24 puncte
Sistemul matriceal este AX=BAX = B cu A=(12−12−13−131)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(314)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}. det⁡(A)=−25≠0\det(A) = -25 \neq 0, deci sistemul este compatibil determinat. Rezolvând, de exemplu, prin regula lui Cramer, se obține x=1,y=2,z=3x=1, y=2, z=3.
33 puncte
Volumul paralelipipedului este ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣=∣det⁡(A)∣=25| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) | = |\det(A)| = 25.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.