MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=ex−x−1g(x) = e^x - x - 1. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției gg. b) Demonstrați că ex≥x+1e^x \geq x + 1 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. c) Pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, considerați funcția h(x)=ex−axh(x) = e^x - ax. Determinați aa astfel încât hh să aibă un minim global și calculați acest minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: g′(x)=ex−1g'(x) = e^x - 1. Studiem semnul: g′(x)=0g'(x) = 0 pentru x=0x=0. Pentru x<0x < 0, ex<1e^x < 1, deci g′(x)<0g'(x) < 0, iar pentru x>0x > 0, ex>1e^x > 1, deci g′(x)>0g'(x) > 0. Monotonia: gg este descrescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] și crescătoare pe [0,∞)[0, \infty).
23 puncte
Calculăm derivata a doua: g′′(x)=exg''(x) = e^x. Deoarece ex>0e^x > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, funcția gg este convexă pe întregul domeniu R\mathbb{R}.
32 puncte
Din monotonia lui gg, minimul global este atins în x=0x=0, unde g(0)=e0−0−1=0g(0) = e^0 - 0 - 1 = 0. Deci pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, g(x)≥0g(x) \geq 0, ceea ce implică ex−x−1≥0e^x - x - 1 \geq 0, adică ex≥x+1e^x \geq x + 1.
42 puncte
Pentru h(x)=ex−axh(x) = e^x - ax, calculăm h′(x)=ex−ah'(x) = e^x - a. Pentru ca hh să aibă un minim global, trebuie să existe xx real cu h′(x)=0h'(x)=0 și h′′(x)>0h''(x)>0. h′(x)=0h'(x)=0 dă ex=ae^x = a. Dacă a≤0a \leq 0, ecuația ex=ae^x = a nu are soluție reală, iar h′(x)>0h'(x) > 0 pentru toți xx (deoarece ex>0≥ae^x > 0 \geq a), deci hh este crescătoare și nu are minim global finit. Dacă a>0a > 0, atunci x=ln⁡ax = \ln a este punct critic. h′′(x)=ex>0h''(x) = e^x > 0 pentru orice xx, deci x=ln⁡ax = \ln a este punct de minim global. Valoarea minimă este h(ln⁡a)=eln⁡a−aln⁡a=a−aln⁡a=a(1−ln⁡a)h(\ln a) = e^{\ln a} - a \ln a = a - a \ln a = a(1 - \ln a).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.