MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată de latură xx dm și înălțimea hh dm. Volumul cutiei este de 32 dm332 \text{ dm}^3. Materialul pentru baza costă 10 lei/dm210 \text{ lei/dm}^2, iar materialul pentru fețele laterale costă 5 lei/dm25 \text{ lei/dm}^2. Să se determine dimensiunile cutiei pentru care costul total al materialului este minim. În acest scop, să se exprime costul CC în funcție de xx, să se studieze monotonia și convexitatea funcției CC, și să se arate că punctul critic corespunde unui minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Definim variabilele: x>0x > 0, h>0h > 0. Din volum V=x2h=32V = x^2 h = 32, obținem h=32x2h = \frac{32}{x^2}.
22 puncte
Costul: baza are aria x2x^2, cost 10x210x^2; fețele laterale au aria totală 4xh=4x⋅32x2=128x4xh = 4x \cdot \frac{32}{x^2} = \frac{128}{x}, cost 5⋅128x=640x5 \cdot \frac{128}{x} = \frac{640}{x}. Deci C(x)=10x2+640xC(x) = 10x^2 + \frac{640}{x} pentru x>0x > 0.
32 puncte
Calculăm derivata: C′(x)=20x−640x2=20x3−640x2C'(x) = 20x - \frac{640}{x^2} = \frac{20x^3 - 640}{x^2}. Puncte critice: C′(x)=0C'(x)=0 implică 20x3−640=020x^3 - 640 = 0, deci x3=32x^3 = 32 și x=323x = \sqrt[3]{32}.
42 puncte
Studiul monotoniei: pentru 0<x<3230 < x < \sqrt[3]{32}, C′(x)<0C'(x) < 0, deci CC este descrescătoare; pentru x>323x > \sqrt[3]{32}, C′(x)>0C'(x) > 0, deci CC este crescătoare. Astfel, x=323x = \sqrt[3]{32} este punct de minim. Studiul convexității: C′′(x)=20+1280x3>0C''(x) = 20 + \frac{1280}{x^3} > 0 pentru x>0x > 0, deci CC este convexă pe (0,∞)(0, \infty), confirmând că punctul critic este minim.
52 puncte
Dimensiunile cutiei: x=323x = \sqrt[3]{32} dm, h=32x2=32322/3=321/3=323h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{32^{2/3}} = 32^{1/3} = \sqrt[3]{32} dm. Deci x=h=323x = h = \sqrt[3]{32} dm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.