MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
Se dau vectorii AB⃗=i⃗+j⃗−k⃗\vec{AB} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}, AC⃗=−i⃗+j⃗+k⃗\vec{AC} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}, și AD⃗=2i⃗+2j⃗+2k⃗\vec{AD} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}. Demonstrați că punctele A, B, C, D sunt coplanare și calculați aria triunghiului BCD.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru coplanaritate, calculăm produsul mixt AB⃗⋅(AC⃗×AD⃗)\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}). Dacă este zero, punctele sunt coplanare.
23 puncte
Calculăm AC⃗×AD⃗=∣i⃗j⃗k⃗−111222∣=i⃗(1⋅2−1⋅2)−j⃗(−1⋅2−1⋅2)+k⃗(−1⋅2−1⋅2)=0⃗\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) - \vec{j}(-1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) + \vec{k}(-1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) = \vec{0}.
32 puncte
AB⃗⋅0⃗=0\vec{AB} \cdot \vec{0} = 0, deci produsul mixt este zero și punctele sunt coplanare.
42 puncte
Pentru aria triunghiului BCD, calculăm BC⃗=AC⃗−AB⃗=(−2i⃗+0j⃗+2k⃗)\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = (-2\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}) și BD⃗=AD⃗−AB⃗=(i⃗+j⃗+3k⃗)\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = (\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}). Apoi BC⃗×BD⃗=∣i⃗j⃗k⃗−202113∣=i⃗(0⋅3−2⋅1)−j⃗(−2⋅3−2⋅1)+k⃗(−2⋅1−0⋅1)=(−2i⃗+8j⃗−2k⃗)\vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 2 \cdot 1) - \vec{j}(-2 \cdot 3 - 2 \cdot 1) + \vec{k}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (-2\vec{i} + 8\vec{j} - 2\vec{k}). Modulul este (−2)2+82+(−2)2=4+64+4=72=62\sqrt{(-2)^2 + 8^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 64 + 4} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. Aria este 12×62=32\frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.