MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, folosind aceste rezultate, determinați numărul de soluții reale ale ecuației f(x)=kf(x) = k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2.
23 puncte
Studiază semnul derivatei întâi pentru a determina intervalele de monotonie: pe (−∞,0)(-\infty, 0) f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare; pe (0,2)(0,2) f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare; pe (2,∞)(2, \infty) f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare.
32 puncte
Calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvă f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru a găsi punctul de inflexiune: x=1x=1.
42 puncte
Studiază semnul derivatei a doua pentru a determina intervalele de convexitate: pe (−∞,1)(-\infty, 1) f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff concavă; pe (1,∞)(1, \infty) f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff convexă.
51 punct
Analizează ecuația f(x)=kf(x) = k folosind monotonia și convexitatea. Valorile extreme: f(0)=2f(0)=2, f(2)=−2f(2)=-2. Dacă k>2k > 2 sau k<−2k < -2, ecuația are o singură soluție; dacă k=2k=2 sau k=−2k=-2, are două soluții (una dublă); dacă −2<k<2-2 < k < 2, are trei soluții reale distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.