MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=i⃗+kj⃗\vec{v} = \vec{i} + k\vec{j}, unde kk este un număr real. Determinați valoarea lui kk astfel încât unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} să fie de 60∘60^\circ.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem formula produsului scalar: u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta, unde θ=60∘\theta = 60^\circ.
23 puncte
Calculăm mărimile: u⃗⋅v⃗=3⋅1+4⋅k=3+4k\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot k = 3 + 4k, ∣u⃗∣=32+42=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, ∣v⃗∣=12+k2=1+k2|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + k^2} = \sqrt{1 + k^2}, și cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
34 puncte
Înlocuim în formula: 3+4k=5⋅1+k2⋅123 + 4k = 5 \cdot \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{1}{2}. Rezolvăm ecuația: 6+8k=51+k26 + 8k = 5\sqrt{1 + k^2}. Ridicăm la pătrat ambele părți: (6+8k)2=25(1+k2)(6 + 8k)^2 = 25(1 + k^2), deci 36+96k+64k2=25+25k236 + 96k + 64k^2 = 25 + 25k^2. Simplificăm: 39k2+96k+11=039k^2 + 96k + 11 = 0. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea: k=−96±962−4⋅39⋅112⋅39=−96±9216−171678=−96±750078=−96±50378k = \frac{-96 \pm \sqrt{96^2 - 4 \cdot 39 \cdot 11}}{2 \cdot 39} = \frac{-96 \pm \sqrt{9216 - 1716}}{78} = \frac{-96 \pm \sqrt{7500}}{78} = \frac{-96 \pm 50\sqrt{3}}{78}. Simplificăm: k=−48±25339k = \frac{-48 \pm 25\sqrt{3}}{39}. Verificăm în ecuația originală și acceptăm ambele soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.