MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul cutiei este de 32 m³. Determinați dimensiunile cutiei pentru care suma ariilor fețelor (inclusiv baza) este minimă. Studiați monotonia și convexitatea funcției care reprezintă suma ariilor în raport cu latura bazei și justificați că punctul găsit este de minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Notați latura bazei cu xx (m) și înălțimea cu hh (m). Volumul este V=x2h=32V = x^2 h = 32, deci h=32x2h = \frac{32}{x^2}.
22 puncte
Suma ariilor fețelor: baza are aria x2x^2, iar cele patru fețe laterale au fiecare aria xhx h, deci totalul este A=x2+4xh=x2+4x⋅32x2=x2+128xA = x^2 + 4x h = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}, pentru x>0x > 0.
32 puncte
Studiați funcția A(x)=x2+128xA(x) = x^2 + \frac{128}{x}. Calculați derivata întâi: A′(x)=2x−128x2A'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}.
42 puncte
Determinați punctele critice: A′(x)=0⇒2x=128x2⇒x3=64⇒x=4A'(x)=0 \Rightarrow 2x = \frac{128}{x^2} \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x=4. Studiați semnul derivatei: A′(x)<0A'(x) < 0 pentru 0<x<40 < x < 4, A′(x)>0A'(x) > 0 pentru x>4x > 4, deci AA este descrescătoare pe (0,4](0,4] și crescătoare pe [4,∞)[4,\infty).
51 punct
Calculați derivata a doua: A′′(x)=2+256x3A''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}. Pentru x>0x > 0, A′′(x)>0A''(x) > 0, deci AA este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
61 punct
Concluzie: x=4x=4 este punct de minim global datorită monotoniei și convexității. Atunci h=3242=2h = \frac{32}{4^2} = 2 m, deci dimensiunile sunt latura bazei 44 m și înălțimea 22 m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.