MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere RealeDeterminanți
Se dau vectorii u⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗\vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}, v⃗=−i⃗+4j⃗+k⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}, și w⃗=i⃗+j⃗−2k⃗\vec{w} = \vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}. a) Verificați dacă acești vectori sunt coplanari. b) Dacă nu sunt coplanari, calculați volumul paralelipipedului determinat de ei. c) Aflați un vector unitar perpendicular pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați produsul mixt pentru coplanaritate: u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}). Mai întâi, v⃗×w⃗=∣i⃗j⃗k⃗−14111−2∣=(−9)i⃗−j⃗−5k⃗\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-9)\vec{i} - \vec{j} -5\vec{k}. Apoi, u⃗⋅(v⃗×w⃗)=(2)(−9)+(−1)(−1)+(3)(−5)=−18+1−15=−32≠0\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (2)(-9) + (-1)(-1) + (3)(-5) = -18 + 1 -15 = -32 \neq 0, deci vectorii nu sunt coplanari.
23 puncte
Volumul paralelipipedului este ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣=32|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = 32.
33 puncte
Găsiți un vector perpendicular pe u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}: u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗2−13−141∣=(−13)i⃗−5j⃗+7k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-13)\vec{i} -5\vec{j} +7\vec{k}. Magnitudinea sa este (−13)2+(−5)2+72=243=93\sqrt{(-13)^2 + (-5)^2 + 7^2} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}. Vectorul unitar este −13i⃗−5j⃗+7k⃗93\frac{-13\vec{i} -5\vec{j} +7\vec{k}}{9\sqrt{3}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.