MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie dreptunghiulară cu bază pătrată trebuie să aibă volumul de 8 m³. Materialul pentru baza costă 10 unități monetare pe m², iar pentru fețele laterale costă 5 unități monetare pe m². Determinați dimensiunile cutiei astfel încât costul total să fie minim. Analizați monotonitatea și convexitatea funcției cost în raport cu latura bazei și justificați că punctul găsit este un minim global.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Fie xx latura bazei (în metri) și hh înălțimea. Volumul: x2h=8x^2 h = 8, deci h=8x2h = \frac{8}{x^2}. Costul total: C(x)=10x2+5⋅4xh=10x2+20x⋅8x2=10x2+160xC(x) = 10x^2 + 5 \cdot 4xh = 10x^2 + 20x \cdot \frac{8}{x^2} = 10x^2 + \frac{160}{x}, cu x>0x > 0.
23 puncte
Calculați derivata întâi: C′(x)=20x−160x2C'(x) = 20x - \frac{160}{x^2}. Rezolvați C′(x)=0C'(x) = 0: 20x=160x2⇒20x3=160⇒x3=8⇒x=220x = \frac{160}{x^2} \Rightarrow 20x^3 = 160 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2.
32 puncte
Studiind semnul derivatei întâi: pentru x∈(0,2)x \in (0,2), C′(x)<0C'(x) < 0 (funcție descrescătoare), pentru x∈(2,∞)x \in (2,\infty), C′(x)>0C'(x) > 0 (funcție crescătoare). Deci x=2x=2 este punct de minim local.
43 puncte
Calculați derivata a doua: C′′(x)=20+320x3C''(x) = 20 + \frac{320}{x^3}. Pentru x>0x > 0, C′′(x)>0C''(x) > 0, deci funcția este convexă pe domeniu. Într-un punct de minim local pentru o funcție convexă, acesta este minim global. Astfel, dimensiunile optime sunt: latura bazei x=2x=2 m, înălțimea h=822=2h = \frac{8}{2^2} = 2 m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.