MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de monotonie și convexitate ale funcției f(x)=x3e−xf(x) = x^3 e^{-x} și calculați valoarea maximă a acesteia pe intervalul [0,∞)[0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3x2e−x−x3e−x=x2e−x(3−x)f'(x) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = x^2 e^{-x}(3 - x).
22 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x): f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0 și x=3x=3; f′(x)>0f'(x) > 0 pe (0,3)(0,3) și f′(x)<0f'(x) < 0 pe (−∞,0)(-\infty,0) și (3,∞)(3,\infty); deci ff este strict crescătoare pe [0,3][0,3] și strict descrescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [3,∞)[3,\infty).
32 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=e−x(6x−6x2+x3)=xe−x(x2−6x+6)f''(x) = e^{-x}(6x - 6x^2 + x^3) = x e^{-x}(x^2 - 6x + 6).
42 puncte
Studiați semnul lui f′′(x)f''(x): f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=0x=0, x=3−3x=3-\sqrt{3}, x=3+3x=3+\sqrt{3}; f′′(x)>0f''(x) > 0 pe (0,3−3)(0,3-\sqrt{3}) și (3+3,∞)(3+\sqrt{3},\infty), f′′(x)<0f''(x) < 0 pe (−∞,0)(-\infty,0) și (3−3,3+3)(3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}); deci ff este convexă pe [0,3−3][0,3-\sqrt{3}] și [3+3,∞)[3+\sqrt{3},\infty), concavă pe (−∞,0](-\infty,0] și [3−3,3+3][3-\sqrt{3},3+\sqrt{3}].
52 puncte
Pe intervalul [0,∞)[0,\infty), valoarea maximă se atinge în x=3x=3 deoarece ff este crescătoare pe [0,3][0,3] și descrescătoare pe [3,∞)[3,\infty); f(3)=27e−3f(3) = 27 e^{-3}, iar lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0; deci valoarea maximă este 27e−327 e^{-3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.