MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice vectori u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}, are loc relația ∣u⃗+v⃗∣2+∣u⃗−v⃗∣2=2(∣u⃗∣2+∣v⃗∣2)|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2). Apoi, folosind această relație, calculați ∣a⃗+b⃗∣|\vec{a} + \vec{b}| și ∣a⃗−b⃗∣|\vec{a} - \vec{b}| dacă ∣a⃗∣=3|\vec{a}| = 3, ∣b⃗∣=4|\vec{b}| = 4 și unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} este 60∘60^\circ. În final, determinați unghiul dintre a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrarea identității: ∣u⃗+v⃗∣2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)=∣u⃗∣2+2u⃗⋅v⃗+∣v⃗∣2|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 și ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2−2u⃗⋅v⃗+∣v⃗∣2|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2. Adunând, se obține 2(∣u⃗∣2+∣v⃗∣2)2(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2).
23 puncte
Pentru a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, ∣a⃗+b⃗∣2+∣a⃗−b⃗∣2=2(32+42)=2(9+16)=50|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(3^2 + 4^2) = 2(9+16)=50. Din legea cosinusurilor, ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2+2∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡60∘=9+16+2⋅3⋅4⋅12=25+12=37|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = 9+16+2\cdot3\cdot4\cdot\frac{1}{2}=25+12=37, deci ∣a⃗+b⃗∣=37|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{37}. Similar, ∣a⃗−b⃗∣2=9+16−12=13|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 9+16-12=13, deci ∣a⃗−b⃗∣=13|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}.
33 puncte
Unghiul α\alpha dintre a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} se calculează din cos⁡α=(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−b⃗)∣a⃗+b⃗∣∣a⃗−b⃗∣=∣a⃗∣2−∣b⃗∣237⋅13=9−16481=−7481\cos \alpha = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}||\vec{a} - \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2}{\sqrt{37} \cdot \sqrt{13}} = \frac{9-16}{\sqrt{481}} = \frac{-7}{\sqrt{481}}, deci α=arccos⁡(−7481)\alpha = \arccos\left(-\frac{7}{\sqrt{481}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.