MediuMonotonie și convexitateClasa 12

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3ax2+bf(x) = x^3 - 3ax^2 + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb știind că funcția are un punct de inflexiune în x=1x=1 și este crescătoare pe R\mathbb{R}. b) Pentru valorile găsite, studiați monotonia și convexitatea funcției. c) Calculați aria mărginită de graficul funcției, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați f′(x)=3x2−6axf'(x) = 3x^2 - 6ax și f′′(x)=6x−6af''(x) = 6x - 6a. Condiția de punct de inflexiune în x=1x=1: f′′(1)=0  ⟹  6−6a=0  ⟹  a=1f''(1) = 0 \implies 6 - 6a = 0 \implies a = 1.
23 puncte
Pentru a=1a=1, f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2). Pentru ca funcția să fie crescătoare pe R\mathbb{R}, trebuie f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}; dar f′(x)f'(x) nu este nenegativă peste tot deoarece are rădăcinile x=0x=0 și x=2x=2 și este negativă între ele. Condiția este greșită sau trebuie ajustată; presupunem că funcția este crescătoare pe un interval, dar enunțul spune pe R\mathbb{R}. Corect: Dacă a=1a=1, funcția nu este crescătoare pe R\mathbb{R}. Așadar, pentru a fi crescătoare pe R\mathbb{R}, f′(x)≥0f'(x) \geq 0 peste tot, adică discriminantul Δ\Delta al f′(x)f'(x) ca trinom trebuie să fie ≤0\leq 0: f′(x)=3x2−6axf'(x) = 3x^2 - 6ax, discriminantul este (−6a)2−4⋅3⋅0=36a2(-6a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 36a^2, care este întotdeauna nenegativ, deci f′(x)f'(x) nu poate fi nenegativă peste tot decât dacă a=0a=0 și atunci f′(x)=3x2≥0f'(x)=3x^2 \geq 0. Dar atunci punctul de inflexiune în x=1x=1: f′′(1)=6−6a=0  ⟹  a=1f''(1)=6-6a=0 \implies a=1, contradicție. Deci, ajustăm condiția: punctul de inflexiune în x=1x=1 și funcția crescătoare, presupunem că este crescătoare în jurul punctului sau pe un interval; dar pentru simplificare, considerăm că enunțul cere aa și bb astfel încât să aibă punct de inflexiune și să fie crescătoare, dar cum nu este posibil, să găsim aa și bb pentru care funcția are punct de inflexiune și este monotonă pe anumite intervale. Mai bine: Fie aa determinat din punct de inflexiune, apoi studiem monotonia. Deci, a=1a=1 din punct de inflexiune. Atunci f(x)=x3−3x2+bf(x)=x^3 - 3x^2 + b. Pentru a studia monotonia, f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2 -6x=3x(x-2), deci funcția este crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2]. Nu este crescătoare pe R\mathbb{R}, dar enunțul poate fi interpretat ca 'este crescătoare' ca o condiție pentru bb sau altceva. Să presupunem că bb este liber. Deci, a=1a=1 și bb orice.
32 puncte
Pentru a=1a=1 și bb fixat (de exemplu, b=0b=0 pentru simplitate), studiați monotonia: f′(x)=3x(x−2)f'(x)=3x(x-2), deci crescătoare pe (−∞,0]∪[2,∞)(-\infty,0] \cup [2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2]. Convexitatea: f′′(x)=6x−6f''(x)=6x-6, deci f′′(x)=0f''(x)=0 pentru x=1x=1; convexă pe [1,∞)[1,\infty) (f′′(x)≥0f''(x) \geq 0), concavă pe (−∞,1](-\infty,1] (f′′(x)≤0f''(x) \leq 0). Punct de inflexiune în x=1x=1.
42 puncte
Aria mărginită: Pentru f(x)=x3−3x2+bf(x)=x^3 - 3x^2 + b, alegem b=0b=0 ca exemplu. Atunci aria este ∫02∣f(x)∣dx\int_0^2 |f(x)| dx. f(x)=x3−3x2=x2(x−3)f(x)=x^3 - 3x^2 = x^2(x-3), pe [0,2][0,2], f(x)≤0f(x) \leq 0 (deoarece x−3<0x-3 <0), deci ∣f(x)∣=−f(x)|f(x)| = -f(x). Aria = ∫02(−x3+3x2)dx=[−x44+x3]02=−4+8=4\int_0^2 (-x^3 + 3x^2) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 \right]_0^2 = -4 + 8 = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.