MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii a⃗=2i⃗+j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} și b⃗=−i⃗+3j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 3\vec{j} în sistemul de coordonate cartezian xOyxOy. Fie x⃗=xi⃗+yj⃗\vec{x} = x\vec{i} + y\vec{j} un vector necunoscut. Știind că x⃗⋅a⃗=5\vec{x} \cdot \vec{a} = 5, x⃗⋅b⃗=−1\vec{x} \cdot \vec{b} = -1 și că lungimea vectorului x⃗\vec{x} este 10\sqrt{10}, determinați coordonatele (x,y)(x, y) ale vectorului x⃗\vec{x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea condițiilor sub formă de ecuații folosind produsul scalar. Avem x⃗⋅a⃗=2x+y=5\vec{x} \cdot \vec{a} = 2x + y = 5 și x⃗⋅b⃗=−x+3y=−1\vec{x} \cdot \vec{b} = -x + 3y = -1.
23 puncte
Rezolvarea sistemului de ecuații. Din {2x+y=5−x+3y=−1\begin{cases} 2x + y = 5 \\ -x + 3y = -1 \end{cases}, se obține x=2x = 2 și y=1y = 1.
33 puncte
Verificarea condiției cu lungimea: ∥x⃗∥=x2+y2=22+12=5\|\vec{x}\| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}, dar trebuie să fie 10\sqrt{10}. Așadar, soluția obținută nu verifică, deci sistemul are două soluții. Se rezolvă sistemul complet: din primele două ecuații, se exprimă x și y în funcție de un parametru sau se verifică direct că (2,1)(2,1) nu satisface lungimea, deci se rezolvă sistemul {2x+y=5−x+3y=−1x2+y2=10\begin{cases} 2x + y = 5 \\ -x + 3y = -1 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}. Din primele două, se obține x=167x = \frac{16}{7}, y=37y = \frac{3}{7}.
42 puncte
Concluzia finală: coordonatele vectorului x⃗\vec{x} sunt (167,37)\left(\frac{16}{7}, \frac{3}{7}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.