MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de extrem local ale lui ff și calculați valorile extreme. c) Aplicați proprietățile funcției pentru a rezolva inecuația f(x)≤2f(x) \leq 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=(2x−2)(x−1)−(x2−2x+3)(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x -1}{(x-1)^2}. Rezolvați f′(x)=0f'(x)=0 pentru puncte critice (x=1±2x=1\pm\sqrt{2}) și stabiliți semnul derivatei pentru intervalele de monotonie: ff este crescătoare pe (−∞,1−2](-\infty,1-\sqrt{2}] și [1+2,∞)[1+\sqrt{2},\infty), descrescătoare pe [1−2,1)[1-\sqrt{2},1) și (1,1+2](1,1+\sqrt{2}].
23 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=2(x−1)2−2(x2−2x−1)(x−1)(x−1)4=2(x−1)3f''(x) = \frac{2(x-1)^2 - 2(x^2-2x-1)(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{2}{(x-1)^3}. Studiați semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x>1 (convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x<1 (concavă).
32 puncte
Folosind semnul derivatei întâi, punctul x=1−2x=1-\sqrt{2} este maxim local cu f(1−2)=2−22f(1-\sqrt{2})=2-2\sqrt{2}, iar x=1+2x=1+\sqrt{2} este minim local cu f(1+2)=2+22f(1+\sqrt{2})=2+2\sqrt{2}.
42 puncte
Din monotonia și extremele, inecuația f(x)≤2f(x) \leq 2 are soluțiile x∈(1,1+2]∪[1−2,1)x \in (1,1+\sqrt{2}] \cup [1-\sqrt{2},1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.