MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un dreptunghi are perimetrul de 20 cm. Exprimați aria dreptunghiului în funcție de lungimea unei laturi, notată xx (în cm). Determinați valoarea lui xx pentru care aria este maximă și studiați monotonia și convexitatea funcției ariei pe domeniul de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Dacă o latură este xx, cealaltă latură este 10−x10-x (deoarece perimetrul este 2x+2(10−x)=202x + 2(10-x)=20), deci aria A(x)=x(10−x)=10x−x2A(x) = x(10-x) = 10x - x^2, cu x∈(0,10)x \in (0,10). \n
22 puncte
Calculul derivatei întâi: A′(x)=10−2xA'(x) = 10 - 2x. \n
32 puncte
Rezolvarea A′(x)=0A'(x)=0 dă x=5x=5, care este punct critic. \n
42 puncte
Studiul semnului lui A′(x)A'(x): pe (0,5)(0,5) A′(x)>0A'(x)>0 deci AA strict crescătoare, pe (5,10)(5,10) A′(x)<0A'(x)<0 deci AA strict descrescătoare, deci x=5x=5 este punct de maxim local. \n
52 puncte
Calculul derivatei a doua: A′′(x)=−2<0A''(x) = -2 < 0 pentru orice x∈(0,10)x \in (0,10), deci funcția AA este concavă pe întreg domeniul, confirmând că maximul este global.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.