MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Costul total de producție al unei firme este dat de funcția C(x)=x3−6x2+9x+10C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 10, unde x≥0x \geq 0 reprezintă cantitatea produsă în mii de unități. a) Studiați monotonia funcției cost marginal C′(x)C'(x). b) Determinați intervalele de convexitate ale funcției cost total C(x)C(x). c) Aflați nivelul de producție pentru care costul marginal este minim și interpretați economic rezultatul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează derivata întâi: C′(x)=3x2−12x+9C'(x) = 3x^2 - 12x + 9 și derivata a doua: C′′(x)=6x−12C''(x) = 6x - 12.
23 puncte
Pentru monotonia lui C′(x)C'(x), se rezolvă C′′(x)=0C''(x) = 0: x=2x = 2. C′′(x)<0C''(x) < 0 pentru x<2x < 2, deci C′(x)C'(x) descrescătoare pe [0,2)[0,2); C′′(x)>0C''(x) > 0 pentru x>2x > 2, deci C′(x)C'(x) crescătoare pe (2,∞)(2,\infty); x=2x=2 este punct de minim pentru C′(x)C'(x).
33 puncte
Pentru convexitatea lui C(x)C(x), se analizează semnul lui C′′(x)C''(x): C′′(x)<0C''(x) < 0 pentru x<2x < 2 (funcție concavă), C′′(x)>0C''(x) > 0 pentru x>2x > 2 (funcție convexă); x=2x=2 este punct de inflexiune.
42 puncte
Nivelul de producție pentru cost marginal minim este x=2x=2 mii unități. Interpretare economică: la această producție, costul marginal atinge cea mai mică valoare a ratei de variație, semnificând o zonă de eficiență în procesul de producție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.