MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un producător dorește să fabrice o cutie cilindrică cu volum fix V=1000 cm3V = 1000 \text{ cm}^3. Suprafața totală a cutiei este dată de funcția S(r)=2πr2+2000rS(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}, unde r>0r > 0 este raza bazei. Determinați valoarea lui rr pentru care suprafața este minimă, apoi studiați monotonia și convexitatea funcției S(r)S(r) pe domeniul r>0r > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți funcția S(r)=2πr2+2000rS(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} cu domeniul de definiție r>0r > 0.
23 puncte
Calculați derivata întâi: S′(r)=4πr−2000r2S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2}. Găsiți punctele critice rezolvând S′(r)=0S'(r) = 0: 4πr−2000r2=0⇒4πr3=2000⇒r3=500π⇒r=500π34\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow 4\pi r^3 = 2000 \Rightarrow r^3 = \frac{500}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}.
32 puncte
Verificați că punctul critic este de minim folosind derivata a doua: S′′(r)=4π+4000r3S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3}. Pentru r>0r > 0, S′′(r)>0S''(r) > 0, deci funcția este convexă și punctul critic este minim global.
43 puncte
Studiați monotonia: pentru 0<r<500π30 < r < \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}, S′(r)<0S'(r) < 0 (funcția descrescătoare), pentru r>500π3r > \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}, S′(r)>0S'(r) > 0 (funcția crescătoare). Studiați convexitatea: deoarece S′′(r)>0S''(r) > 0 pentru toți r>0r > 0, funcția este convexă pe întreg domeniul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.