MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2+axf(x) = x^2 + \frac{a}{x}, unde a>0a > 0 este un parametru real. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției în funcție de aa. b) Pentru a=4a=4, determinați valoarea lui xx pentru care f(x)f(x) este minimă și calculați acest minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=2x−ax2f'(x) = 2x - \frac{a}{x^2}. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0: 2x=ax2⇒2x3=a⇒x=a232x = \frac{a}{x^2} \Rightarrow 2x^3 = a \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{a}{2}}.
23 puncte
Se analizează semnul derivatei întâi: pentru x>a23x > \sqrt[3]{\frac{a}{2}}, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este crescătoare; pentru 0<x<a230 < x < \sqrt[3]{\frac{a}{2}}, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este descrescătoare.
32 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=2+2ax3f''(x) = 2 + \frac{2a}{x^3}. Deoarece a>0a>0 și x>0x>0, f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice xx, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
42 puncte
Pentru a=4a=4, punctul critic este x=423=23x = \sqrt[3]{\frac{4}{2}} = \sqrt[3]{2}. Din convexitate, acesta este punct de minim. f(23)=(23)2+423=22/3+4⋅2−1/3=22/3+22/3=2⋅22/3=25/3f(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^2 + \frac{4}{\sqrt[3]{2}} = 2^{2/3} + 4 \cdot 2^{-1/3} = 2^{2/3} + 2^{2/3} = 2 \cdot 2^{2/3} = 2^{5/3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.