MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției ff. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției ff și determinați punctele de inflexiune. c) Considerăm un dreptunghi cu lățimea xx și lungimea y=f(x)y = f(x) pentru x∈[0,3]x \in [0,3]. Determinați valoarea lui xx pentru care aria dreptunghiului este maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2). Studiind semnul, obținem: f′(x)≥0f'(x) \geq 0 pentru x∈(−∞,0]∪[2,∞)x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty), deci ff este crescătoare pe aceste intervale, și f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru x∈[0,2]x \in [0,2], deci ff este descrescătoare pe [0,2][0,2]. Puncte de extrem: maxim local în x=0x=0, f(0)=4f(0)=4; minim local în x=2x=2, f(2)=0f(2)=0.
23 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1). f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1, deci ff este concavă pe (−∞,1)(-\infty, 1), și f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1, deci ff este convexă pe (1,∞)(1, \infty). Punct de inflexiune în x=1x=1, f(1)=2f(1)=2.
34 puncte
Aria dreptunghiului este A(x)=x⋅f(x)=x(x3−3x2+4)=x4−3x3+4xA(x) = x \cdot f(x) = x(x^3 - 3x^2 + 4) = x^4 - 3x^3 + 4x, pentru x∈[0,3]x \in [0,3]. Derivata A′(x)=4x3−9x2+4A'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4. Soluțiile ecuației A′(x)=0A'(x)=0 sunt x=2x=2 și x=1±338x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}. În intervalul [0,3][0,3], rădăcinile sunt x=1+338≈0.843x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8} \approx 0.843 și x=2x=2. Studiem semnul lui A′A': pozitiv pe [0,1+338)[0, \frac{1+\sqrt{33}}{8}), negativ pe (1+338,2)(\frac{1+\sqrt{33}}{8}, 2), pozitiv pe (2,3](2,3]. Astfel, AA are maxim local în x=1+338x = \frac{1+\sqrt{33}}{8} și în x=3x=3. Calculăm A(0)=0A(0)=0, A(1+338)≈2.08A\left(\frac{1+\sqrt{33}}{8}\right) \approx 2.08, A(2)=0A(2)=0, A(3)=12A(3)=12. Maximul absolut este la x=3x=3, cu valoarea 1212.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.