MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctele de pe graficul funcției în care tangenta este paralelă cu dreapta y=xy = x. c) Utilizând convexitatea, demonstrați că pentru orice a,b>0a, b > 0, avem aln⁡a+bln⁡b≥(a+b)ln⁡(a+b2)a \ln a + b \ln b \geq (a+b) \ln\left(\frac{a+b}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 și a derivatei a doua f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. f′(x)=0f'(x)=0 pentru x=1ex = \frac{1}{e}; ff este descrescătoare pe (0,1e](0, \frac{1}{e}] și crescătoare pe [1e,∞)[\frac{1}{e}, \infty). f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x>0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).\n
22 puncte
Tangenta paralelă cu y=xy=x implică f′(x)=1f'(x)=1, deci ln⁡x+1=1\ln x + 1 = 1, ln⁡x=0\ln x = 0, x=1x=1. Punctul este (1,f(1))=(1,0)(1, f(1)) = (1,0).\n
33 puncte
Deoarece ff este convexă, pentru orice a,b>0a,b>0, inegalitatea Jensen dă f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}, adică a+b2ln⁡(a+b2)≤aln⁡a+bln⁡b2\frac{a+b}{2} \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{a \ln a + b \ln b}{2}. Înmulțind cu 2, obținem inegalitatea cerută.\n
42 puncte
Verificare: egalitatea are loc când a=ba=b, ceea ce confirmă demonstrația și completitudinea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.