MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se dau vectorii u⃗=3i⃗−j⃗+2k⃗\vec{u} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} și v⃗=−i⃗+4j⃗+k⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}. Arătați că vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} nu sunt ortogonali și determinați un vector w⃗\vec{w} de modul 5 care este perpendicular atât pe u⃗\vec{u} cât și pe v⃗\vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează produsul scalar u⃗⋅v⃗=3∗(−1)+(−1)∗4+2∗1=−3−4+2=−5\vec{u} \cdot \vec{v} = 3*(-1) + (-1)*4 + 2*1 = -3 -4 + 2 = -5. Deoarece u⃗⋅v⃗≠0\vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0, vectorii nu sunt ortogonali.
24 puncte
Determină produsul vectorial u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} pentru a obține un vector perpendicular pe ambii. u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗3−12−141∣=i⃗((−1)∗1−2∗4)−j⃗(3∗1−2∗(−1))+k⃗(3∗4−(−1)∗(−1))=i⃗(−1−8)−j⃗(3+2)+k⃗(12−1)=−9i⃗−5j⃗+11k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)*1 - 2*4) - \vec{j}(3*1 - 2*(-1)) + \vec{k}(3*4 - (-1)*(-1)) = \vec{i}(-1-8) - \vec{j}(3+2) + \vec{k}(12-1) = -9\vec{i} - 5\vec{j} + 11\vec{k}.
32 puncte
Calculează modulul vectorului u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}: ∣u⃗×v⃗∣=(−9)2+(−5)2+112=81+25+121=227|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-9)^2 + (-5)^2 + 11^2} = \sqrt{81 + 25 + 121} = \sqrt{227}. Pentru a obține un vector w⃗\vec{w} cu modulul 5, scalează vectorul: w⃗=5227(−9i⃗−5j⃗+11k⃗)\vec{w} = \frac{5}{\sqrt{227}} (-9\vec{i} - 5\vec{j} + 11\vec{k}).
42 puncte
Scrie vectorul w⃗\vec{w} în forma finală: w⃗=−45227i⃗−25227j⃗+55227k⃗\vec{w} = -\frac{45}{\sqrt{227}}\vec{i} - \frac{25}{\sqrt{227}}\vec{j} + \frac{55}{\sqrt{227}}\vec{k}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.