MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff și să se determine punctele de extrem local și punctele de inflexiune, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x.\n
23 puncte
Studierea monotoniei: f′(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x=1. Pentru x∈(0,1)x \in (0,1), ln⁡x<0\ln x < 0, deci ff descrescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty), ln⁡x>0\ln x > 0, deci ff crescătoare.\n
32 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}.\n
42 puncte
Studierea convexității: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x∈(0,∞)x \in (0, \infty), deci ff convexă pe (0,∞)(0, \infty). Nu există puncte de inflexiune.\n
51 punct
Punctele de extrem: x=1x=1 este punct de minim local, f(1)=−1f(1) = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.