MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrie
Fie vectorii u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} astfel încât ∣u⃗∣=3|\vec{u}|=3, ∣v⃗∣=4|\vec{v}|=4 și u⃗⋅v⃗=6\vec{u} \cdot \vec{v} = 6. Să se determine măsurile unghiurilor triunghiului format de vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} și u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
13 puncte
Calculăm lungimea vectorului u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}: ∣u⃗−v⃗∣2=(u⃗−v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2u⃗⋅v⃗=32+42−2⋅6=9+16−12=13|\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 = 9 + 16 - 12 = 13, deci ∣u⃗−v⃗∣=13|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{13}. |
27 puncte
Triunghiul are laturile de lungimi a=∣u⃗∣=3a = |\vec{u}| = 3, b=∣v⃗∣=4b = |\vec{v}| = 4, c=∣u⃗−v⃗∣=13c = |\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{13}. Unghiul α\alpha dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}: cos⁡α=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣=63⋅4=12\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{6}{3 \cdot 4} = \frac{1}{2}, deci α=60∘\alpha = 60^{\circ}. Unghiul β\beta dintre u⃗\vec{u} și u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}: cos⁡β=u⃗⋅(u⃗−v⃗)∣u⃗∣∣u⃗−v⃗∣=∣u⃗∣2−u⃗⋅v⃗313=9−6313=113\cos \beta = \frac{\vec{u} \cdot (\vec{u} - \vec{v})}{|\vec{u}| |\vec{u} - \vec{v}|} = \frac{|\vec{u}|^2 - \vec{u} \cdot \vec{v}}{3 \sqrt{13}} = \frac{9 - 6}{3 \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}, deci β=arccos⁡(113)\beta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right). Unghiul γ\gamma dintre v⃗\vec{v} și u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}: cos⁡γ=v⃗⋅(u⃗−v⃗)∣v⃗∣∣u⃗−v⃗∣=u⃗⋅v⃗−∣v⃗∣2413=6−16413=−5213\cos \gamma = \frac{\vec{v} \cdot (\vec{u} - \vec{v})}{|\vec{v}| |\vec{u} - \vec{v}|} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v} - |\vec{v}|^2}{4 \sqrt{13}} = \frac{6 - 16}{4 \sqrt{13}} = -\frac{5}{2\sqrt{13}}, deci γ=arccos⁡(−5213)\gamma = \arccos\left(-\frac{5}{2\sqrt{13}}\right). Se verifică că α+β+γ=180∘\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.