MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4x2+1f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 + 1}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=(3x2−6x)(x2+1)−(x3−3x2+4)(2x)(x2+1)2=x4+3x2−6x−4(x2+1)2f'(x) = \frac{(3x^2 - 6x)(x^2+1) - (x^3-3x^2+4)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2 - 6x - 4}{(x^2+1)^2}. Simplificați și găsiți numărătorul.
23 puncte
Determinați intervalele de monotonie: rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x4+3x2−6x−4=0x^4 + 3x^2 - 6x - 4 = 0, care se factorizează ca (x−1)(x3+x2+4x+4)=0(x-1)(x^3+x^2+4x+4)=0, deci punctul critic este x=1x=1 (căci polinomul cubic nu are rădăcini reale). Analizați semnul lui f′(x)f'(x): pentru x<1x<1, f′(x)<0f'(x)<0 (funcția descrescătoare), pentru x>1x>1, f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare).
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=ddx(x4+3x2−6x−4(x2+1)2)f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^4 + 3x^2 - 6x - 4}{(x^2+1)^2}\right). După calcule, se obține f′′(x)=2(3x5−5x3−12x2+3x+6)(x2+1)3f''(x) = \frac{2(3x^5 - 5x^3 - 12x^2 + 3x + 6)}{(x^2+1)^3}.
42 puncte
Determinați intervalele de convexitate/concavitate: rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru 3x5−5x3−12x2+3x+6=03x^5 - 5x^3 - 12x^2 + 3x + 6 = 0, care are rădăcini aproximative sau se studiază semnul. De exemplu, x≈−1x \approx -1 și x≈2x \approx 2 sunt puncte de inflexiune. Analizați semnul lui f′′(x)f''(x) pe intervale pentru a stabili convexitatea (f′′(x)>0f''(x) > 0) și concavitatea (f′′(x)<0f''(x) < 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.