MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. Studiați monotonitatea și convexitatea funcției ff și determinați punctul de minim al funcției g(x)=f(x)+1xg(x) = f(x) + \frac{1}{x} pe intervalul (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1 și rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0 pentru a găsi x=e−1x = e^{-1}; analizați semnul lui f′(x)f'(x): ff este descrescătoare pe (0,e−1](0, e^{-1}] și crescătoare pe [e−1,∞)[e^{-1}, \infty).
23 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}; deoarece f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>0x > 0, funcția ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
32 puncte
Definiți g(x)=xln⁡x+1xg(x) = x \ln x + \frac{1}{x}, calculați g′(x)=ln⁡x+1−1x2g'(x) = \ln x + 1 - \frac{1}{x^2} și găsiți punctele critice rezolvând g′(x)=0g'(x) = 0; se obține x=1x = 1 (verificabil prin încercări sau metode numerice).
42 puncte
Arătați că g′′(x)=1x+2x3>0g''(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3} > 0 pentru x>0x > 0, deci gg are un minim local în x=1x = 1; confirmați că g(1)=1g(1) = 1 este minimul global verificând comportamentul la limite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.