MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Un semicerc de rază RR are diametrul pe axa OxOx. În acest semicerc se înscrie un dreptunghi cu baza pe diametru. Fie xx jumătatea lungimii bazei dreptunghiului și yy înălțimea acestuia, astfel încât y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}. Aria dreptunghiului este A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x \sqrt{R^2 - x^2}, pentru x∈[0,R]x \in [0, R]. Să se determine valoarea lui xx pentru care aria este maximă. Apoi, să se studieze monotonia și convexitatea funcției A(x)A(x) pe intervalul [0,R][0, R].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei: A′(x)=2R2−x2+2x⋅−xR2−x2=2(R2−x2)−2x2R2−x2=2R2−4x2R2−x2A'(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2(R^2 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2R^2 - 4x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}.
23 puncte
Rezolvarea A′(x)=0A'(x) = 0 dă 2R2−4x2=0⇒x2=R22⇒x=R22R^2 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow x = \frac{R}{\sqrt{2}} (pentru că x≥0x \geq 0). Verificarea că este maxim: A′(x)>0A'(x) > 0 pentru x<R2x < \frac{R}{\sqrt{2}} și A′(x)<0A'(x) < 0 pentru x>R2x > \frac{R}{\sqrt{2}}, deci x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} este punct de maxim.
32 puncte
Monotonia: A(x)A(x) este crescătoare pe [0,R2][0, \frac{R}{\sqrt{2}}] și descrescătoare pe [R2,R][\frac{R}{\sqrt{2}}, R].
42 puncte
Convexitatea: Calculul derivatei a doua A′′(x)=−4xR2−x2−(2R2−4x2)⋅−xR2−x2R2−x2A''(x) = \frac{-4x\sqrt{R^2 - x^2} - (2R^2 - 4x^2) \cdot \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}}{R^2 - x^2}. Simplificând, se obține A′′(x)<0A''(x) < 0 pentru x∈(0,R)x \in (0,R), deci A(x)A(x) este concavă pe [0,R][0, R].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.