MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
Profitul unei companii este modelat de funcția P(x)=−x3+12x2−45x+50P(x) = -x^3 + 12x^2 - 45x + 50, unde x≥0x \geq 0 reprezintă numărul de unități produse. Determinați intervalele pe care profitul este crescător, descrescător, convex și concav. Găsiți valoarea lui xx pentru care profitul este maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: P′(x)=−3x2+24x−45P'(x) = -3x^2 + 24x - 45. Rezolvați P′(x)=0P'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: −3x2+24x−45=0⇒x2−8x+15=0⇒x=3-3x^2 + 24x - 45=0 \Rightarrow x^2 - 8x + 15=0 \Rightarrow x=3 și x=5x=5.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: pe intervalul (0,3)(0,3), P′(x)<0P'(x)<0 deci profitul este descrescător; pe (3,5)(3,5), P′(x)>0P'(x)>0 deci profitul este crescător; pe (5,∞)(5,\infty), P′(x)<0P'(x)<0 deci profitul este descrescător.
33 puncte
Calculați derivata a doua: P′′(x)=−6x+24P''(x) = -6x + 24. Rezolvați P′′(x)=0P''(x)=0 pentru x=4x=4. Pe (0,4)(0,4), P′′(x)>0P''(x)>0 deci profitul este convex; pe (4,∞)(4,\infty), P′′(x)<0P''(x)<0 deci profitul este concav.
41 punct
Profitul este maxim la x=5x=5, deoarece derivata întâi schimbă semnul din pozitiv în negativ în acest punct.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.