MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=i⃗+2j⃗\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j} și b⃗=3i⃗−j⃗\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j}. Determinați vectorul c⃗=xi⃗+yj⃗\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j} astfel încât c⃗\vec{c} să fie o combinație liniară a vectorilor a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}, adică există α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} cu c⃗=αa⃗+βb⃗\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}, și care să verifice c⃗⋅a⃗=10\vec{c} \cdot \vec{a} = 10 și c⃗⋅b⃗=5\vec{c} \cdot \vec{b} = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimă c⃗\vec{c} ca combinație liniară: c⃗=αa⃗+βb⃗=α(1,2)+β(3,−1)=(α+3β,2α−β)\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} = \alpha(1,2) + \beta(3,-1) = (\alpha + 3\beta, 2\alpha - \beta), deci x=α+3βx = \alpha + 3\beta și y=2α−βy = 2\alpha - \beta.
24 puncte
Calculează produsele scalare: a⃗⋅a⃗=12+22=5\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 2^2 = 5, a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅(−1)=3−2=1\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot3 + 2\cdot(-1) = 3-2=1, b⃗⋅b⃗=32+(−1)2=9+1=10\vec{b} \cdot \vec{b} = 3^2 + (-1)^2 = 9+1=10. Condițiile devin: c⃗⋅a⃗=(αa⃗+βb⃗)⋅a⃗=α⋅5+β⋅1=5α+β=10\vec{c} \cdot \vec{a} = (\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}) \cdot \vec{a} = \alpha \cdot 5 + \beta \cdot 1 = 5\alpha + \beta = 10, și c⃗⋅b⃗=(αa⃗+βb⃗)⋅b⃗=α⋅1+β⋅10=α+10β=5\vec{c} \cdot \vec{b} = (\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}) \cdot \vec{b} = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 10 = \alpha + 10\beta = 5.
33 puncte
Rezolvă sistemul: 5α+β=105\alpha + \beta = 10 și α+10β=5\alpha + 10\beta = 5. Din prima, β=10−5α\beta = 10 - 5\alpha. Înlocuind în a doua: α+10(10−5α)=5⇒α+100−50α=5⇒−49α=−95⇒α=9549\alpha + 10(10 - 5\alpha) = 5 \Rightarrow \alpha + 100 - 50\alpha = 5 \Rightarrow -49\alpha = -95 \Rightarrow \alpha = \frac{95}{49}. Atunci β=10−5⋅9549=10−47549=490−47549=1549\beta = 10 - 5 \cdot \frac{95}{49} = 10 - \frac{475}{49} = \frac{490 - 475}{49} = \frac{15}{49}. Apoi x=α+3β=9549+3⋅1549=95+4549=14049=207x = \alpha + 3\beta = \frac{95}{49} + 3 \cdot \frac{15}{49} = \frac{95 + 45}{49} = \frac{140}{49} = \frac{20}{7}, și y=2α−β=2⋅9549−1549=190−1549=17549=257y = 2\alpha - \beta = 2 \cdot \frac{95}{49} - \frac{15}{49} = \frac{190 - 15}{49} = \frac{175}{49} = \frac{25}{7}. Deci c⃗=207i⃗+257j⃗\vec{c} = \frac{20}{7} \vec{i} + \frac{25}{7} \vec{j}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.