MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,2), B(4,5) și C(7,1). Exprimați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC} în funcție de versorii i⃗\vec{i} și j⃗\vec{j}. Aflați proiecția vectorială a lui AC⃗\vec{AC} pe AB⃗\vec{AB}. Determinați ecuația dreptei care trece prin A și este perpendiculară pe BC.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm AB⃗=(4−1)i⃗+(5−2)j⃗=3i⃗+3j⃗\vec{AB} = (4-1)\vec{i} + (5-2)\vec{j} = 3\vec{i} + 3\vec{j} și AC⃗=(7−1)i⃗+(1−2)j⃗=6i⃗−j⃗\vec{AC} = (7-1)\vec{i} + (1-2)\vec{j} = 6\vec{i} - \vec{j}.
23 puncte
Proiecția lui AC⃗\vec{AC} pe AB⃗\vec{AB} este AC⃗⋅AB⃗∣AB⃗∣2AB⃗\frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2} \vec{AB}. Calculăm AC⃗⋅AB⃗=(6)(3)+(−1)(3)=18−3=15\vec{AC} \cdot \vec{AB} = (6)(3) + (-1)(3) = 18 - 3 = 15, ∣AB⃗∣2=32+32=18|\vec{AB}|^2 = 3^2 + 3^2 = 18, deci proiecția este 1518(3i⃗+3j⃗)=56(3i⃗+3j⃗)=52i⃗+52j⃗\frac{15}{18} (3\vec{i} + 3\vec{j}) = \frac{5}{6} (3\vec{i} + 3\vec{j}) = \frac{5}{2}\vec{i} + \frac{5}{2}\vec{j}.
32 puncte
Vectorul director al dreptei BC este BC⃗=(7−4)i⃗+(1−5)j⃗=3i⃗−4j⃗\vec{BC} = (7-4)\vec{i} + (1-5)\vec{j} = 3\vec{i} - 4\vec{j}. O dreaptă perpendiculară pe BC are vectorul director perpendicular pe BC⃗\vec{BC}. Fie d⃗=ai⃗+bj⃗\vec{d} = a\vec{i} + b\vec{j} vectorul director al dreptei căutate. Condiția de perpendicularitate: 3a−4b=03a - 4b = 0. Putem alege d⃗=4i⃗+3j⃗\vec{d} = 4\vec{i} + 3\vec{j} (de exemplu).
43 puncte
Ecuația dreptei prin A(1,2) cu vectorul director d⃗=4i⃗+3j⃗\vec{d} = 4\vec{i} + 3\vec{j} este: x−14=y−23\frac{x-1}{4} = \frac{y-2}{3}, sau în formă generală: 3(x−1)=4(y−2)3(x-1) = 4(y-2) adică 3x−3=4y−83x - 3 = 4y - 8 sau 3x−4y+5=03x - 4y + 5 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.