MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce cutii dreptunghiulare cu baza pătrată. Volumul cutiei este de 32 dm332 \text{ dm}^3. Materialul pentru bază costă 22 u.m./dm², iar pentru fețele laterale costă 11 u.m./dm². Exprimați costul total al materialului în funcție de latura bazei, determinați dimensiunile cutiei pentru care costul este minim, și studiați convexitatea funcției cost pentru a argumenta că punctul critic este un minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notați latura bazei cu xx dm (x>0x>0) și înălțimea cu hh dm. Din volum: x2h=32⇒h=32/x2x^2 h=32 \Rightarrow h=32/x^2. Costul: C(x)=2⋅x2+1⋅4xh=2x2+4x⋅32/x2=2x2+128/xC(x)=2 \cdot x^2 + 1 \cdot 4x h = 2x^2 + 4x \cdot 32/x^2 = 2x^2 + 128/x.
23 puncte
Calculați derivata C′(x)=4x−128/x2C'(x)=4x - 128/x^2. Rezolvați C′(x)=0C'(x)=0: 4x=128/x2⇒x3=32⇒x=323=2434x=128/x^2 \Rightarrow x^3=32 \Rightarrow x=\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]{4} dm. Atunci h=32/x2=32/(322/3)=321/3=323h=32/x^2=32/(32^{2/3})=32^{1/3}=\sqrt[3]{32} dm.
32 puncte
Studiați semnul lui C′(x)C'(x): pentru 0<x<3230<x<\sqrt[3]{32}, C′(x)<0C'(x)<0 (C descrescătoare); pentru x>323x>\sqrt[3]{32}, C′(x)>0C'(x)>0 (C crescătoare). Deci x=323x=\sqrt[3]{32} este punct de minim.
42 puncte
Calculați derivata a doua: C′′(x)=4+256/x3C''(x)=4 + 256/x^3. Pentru x>0x>0, C′′(x)>0C''(x)>0, deci funcția CC este convexă pe (0,∞)(0,\infty), confirmând că punctul critic este un minim global.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.