MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3ln⁡xf(x) = x^3 - 3\ln x. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați punctele de extrem local și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3x2−3xf'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x} și observați că domeniul este (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x>0.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: rezolvați f′(x)=0⇒3x2−3x=0⇒x3=1⇒x=1f'(x)=0 \Rightarrow 3x^2 - \frac{3}{x} = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x=1. Pentru x∈(0,1)x \in (0,1), f′(x)<0f'(x) < 0 (funcție descrescătoare), iar pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty), f′(x)>0f'(x) > 0 (funcție crescătoare).
32 puncte
Calculați derivata a doua f′′(x)=6x+3x2f''(x) = 6x + \frac{3}{x^2}. Observați că f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x>0x>0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
42 puncte
Din studiul monotoniei, x=1x=1 este punct de minim local, iar din convexitate, nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)f''(x) nu se anulează.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.