MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Să se studieze monotonia și convexitatea funcției ff. Apoi, folosind aceste proprietăți, să se arate că pentru orice a,b>0a, b > 0 cu a≠ba \neq b, are loc inegalitatea f(a)+f(b)2>f(a+b2)\frac{f(a) + f(b)}{2} > f\left( \frac{a+b}{2} \right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=1x=1. Intervalele de semn: f′(x)<0f'(x) < 0 pe (0,1)(0,1) și f′(x)>0f'(x) > 0 pe (1,∞)(1, \infty), deci ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1, \infty).
22 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff este convexă pe (0,∞)(0, \infty) și nu are puncte de inflexiune.
32 puncte
Din convexitatea lui ff, pentru orice a,b>0a, b > 0 cu a≠ba \neq b, inegalitatea Jensen dă f(a)+f(b)2>f(a+b2)\frac{f(a) + f(b)}{2} > f\left( \frac{a+b}{2} \right).
44 puncte
Verificăm condițiile: ff este convexă strict pe (0,∞)(0, \infty) deoarece f′′(x)>0f''(x) > 0. Aplicând inegalitatea Jensen pentru funcții convexe strict, rezultă direct inegalitatea cerută, cu egalitatea doar dacă a=ba=b, dar a≠ba \neq b, deci inegalitatea este strictă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.