MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrie
În spațiul euclidian tridimensional, se consideră vectorii a⃗=3i⃗−j⃗+2k⃗\vec{a} = 3\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k} și b⃗=i⃗+4j⃗−k⃗\vec{b} = \vec{i} + 4\vec{j} - \vec{k}. a) Calculați ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}| și interpretați geometric rezultatul. b) Determinați un vector c⃗\vec{c} astfel încât a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și c⃗\vec{c} să fie coplanari și c⃗⋅a⃗=10\vec{c} \cdot \vec{a} = 10. c) Arătați că a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b} nu sunt ortogonali și calculați unghiul dintre ei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează produsul vectorial a⃗×b⃗=(−9i⃗+5j⃗+13k⃗)\vec{a} \times \vec{b} = (-9\vec{i} + 5\vec{j} + 13\vec{k}), apoi modulul ∣a⃗×b⃗∣=511|\vec{a} \times \vec{b}| = 5\sqrt{11}, care reprezintă aria paralelogramului construit pe a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}.
23 puncte
Pentru coplanaritate, c⃗=αa⃗+βb⃗\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}. Din c⃗⋅a⃗=10\vec{c} \cdot \vec{a} = 10, se obține 14α−3β=1014\alpha - 3\beta = 10. Alegând, de exemplu, β=0\beta=0, rezultă α=57\alpha = \frac{5}{7}, deci c⃗=157i⃗−57j⃗+107k⃗\vec{c} = \frac{15}{7}\vec{i} - \frac{5}{7}\vec{j} + \frac{10}{7}\vec{k}.
34 puncte
Se verifică că a⃗⋅b⃗=−3≠0\vec{a} \cdot \vec{b} = -3 \neq 0, deci nu sunt ortogonali. Unghiul θ\theta se calculează din cos⁡θ=−127\cos \theta = \frac{-1}{2\sqrt{7}}, deci θ=arccos⁡(−127)\theta = \arccos\left( \frac{-1}{2\sqrt{7}} \right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.