MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră vectorii a⃗=3i⃗+4j⃗\vec{a} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și b⃗=−i⃗+2j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 2\vec{j}. a) Calculați unghiul dintre a⃗\vec{a} și b⃗\vec{b}. b) Determinați vectorul c⃗\vec{c} astfel încât c⃗⋅a⃗=26\vec{c} \cdot \vec{a} = 26, c⃗⋅b⃗=8\vec{c} \cdot \vec{b} = 8, și ∣c⃗∣=29|\vec{c}| = \sqrt{29}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează a⃗⋅b⃗=3∗(−1)+4∗2=5\vec{a} \cdot \vec{b} = 3*(-1) + 4*2 = 5, ∣a⃗∣=32+42=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, ∣b⃗∣=(−1)2+22=5|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}, și cos⁡θ=555=15\cos\theta = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, deci θ=arccos⁡(15)\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
23 puncte
Fie c⃗=xi⃗+yj⃗\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j}. Atunci formulează ecuațiile: 3x+4y=263x + 4y = 26, −x+2y=8-x + 2y = 8, și x2+y2=29x^2 + y^2 = 29.
33 puncte
Rezolvă sistemul de ecuații. Din −x+2y=8-x + 2y = 8, obține x=2y−8x = 2y - 8. Înlocuiește în 3x+4y=263x + 4y = 26: 3(2y−8)+4y=26⇒6y−24+4y=26⇒10y=50⇒y=53(2y-8) + 4y = 26 \Rightarrow 6y - 24 + 4y = 26 \Rightarrow 10y = 50 \Rightarrow y = 5. Atunci x=2∗5−8=2x = 2*5 - 8 = 2. Verifică: 22+52=4+25=292^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29.
42 puncte
Vectorul c⃗\vec{c} este c⃗=2i⃗+5j⃗\vec{c} = 2\vec{i} + 5\vec{j}, care are modulul 22+52=29\sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}, așa cum se cere.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.