MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În reperul ortonormat OxyzOxyz, se consideră vectorii u⃗=(1,2,−1)\vec{u} = (1,2,-1), v⃗=(3,−1,2)\vec{v} = (3,-1,2), și w⃗=(a,b,c)\vec{w} = (a,b,c). Aflați a,b,c∈Ra,b,c \in \mathbb{R} astfel încât:
  1. Vectorii u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v}, și w⃗\vec{w} să fie coplanari.
  2. w⃗\vec{w} să fie perpendicular pe planul determinat de punctele A(1,0,1)A(1,0,1), B(2,1,0)B(2,1,0), și C(0,1,2)C(0,1,2).
  3. Norma lui w⃗\vec{w} să fie 6\sqrt{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Condiția de coplanaritate: u⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0. Se calculează v⃗×w⃗=∣i⃗j⃗k⃗3−12abc∣\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ a & b & c \end{vmatrix} și apoi produsul scalar cu u⃗\vec{u}.
23 puncte
Se determină vectorii AB⃗=(1,1,−1)\vec{AB} = (1,1,-1) și AC⃗=(−1,1,1)\vec{AC} = (-1,1,1), apoi vectorul normal al planului ABCABC: n⃗=AB⃗×AC⃗\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}. Condiția de perpendicularitate: w⃗\vec{w} este coliniar cu n⃗\vec{n}, deci w⃗=kn⃗\vec{w} = k\vec{n} pentru k∈Rk \in \mathbb{R}.
32 puncte
Condiția de normă: ∥w⃗∥=a2+b2+c2=6\|\vec{w}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{6}.
42 puncte
Se substituie w⃗=kn⃗\vec{w} = k\vec{n} în condițiile de la step 1 și step 3, se rezolvă pentru kk și apoi pentru a,b,ca,b,c.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.