MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorEcuații logaritmice
Considerați funcția g:(0,∞)→Rg: (0, \infty) \to \mathbb{R}, g(x)=xln⁡x−xg(x) = x \ln x - x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției gg. b) Determinați punctul de minim al funcției și demonstrați că g(x)≥−1g(x) \geq -1 pentru orice x>0x > 0. c) Rezolvați ecuația g(x)=0g(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: g′(x)=ln⁡xg'(x) = \ln x. Studiați semnul: g′(x)>0g'(x) > 0 pentru x>1x > 1, g′(x)=0g'(x) = 0 la x=1x=1, g′(x)<0g'(x) < 0 pentru 0<x<10 < x < 1. Deci gg este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1,\infty).
23 puncte
Calculați derivata a doua: g′′(x)=1x>0g''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x>0, deci gg este convexă pe (0,∞)(0,\infty).
32 puncte
Minimul este la x=1x=1, cu g(1)=−1g(1) = -1. Din convexitate și monotonie, g(x)≥−1g(x) \geq -1 pentru orice x>0x>0.
42 puncte
Rezolvați g(x)=0⇒xln⁡x−x=0⇒x(ln⁡x−1)=0g(x)=0 \Rightarrow x \ln x - x = 0 \Rightarrow x(\ln x - 1)=0. Cum x>0x>0, obținem ln⁡x=1⇒x=e\ln x = 1 \Rightarrow x=e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.