MediuVectoriClasa 9

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriIdentități algebrice
Demonstrați identitatea vectorială: a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} pentru orice vectori a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} din R3\mathbb{R}^3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem vectorii în coordonate: a⃗=a1i⃗+a2j⃗+a3k⃗\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}, b⃗=b1i⃗+b2j⃗+b3k⃗\vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}, c⃗=c1i⃗+c2j⃗+c3k⃗\vec{c} = c_1\vec{i} + c_2\vec{j} + c_3\vec{k}. Calculăm b⃗×c⃗=∣i⃗j⃗k⃗b1b2b3c1c2c3∣=(b2c3−b3c2)i⃗−(b1c3−b3c1)j⃗+(b1c2−b2c1)k⃗\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = (b_2 c_3 - b_3 c_2)\vec{i} - (b_1 c_3 - b_3 c_1)\vec{j} + (b_1 c_2 - b_2 c_1)\vec{k}.
24 puncte
Calculăm a⃗×(b⃗×c⃗)\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) folosind determinantul: ∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3(b2c3−b3c2)−(b1c3−b3c1)(b1c2−b2c1)∣\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ (b_2 c_3 - b_3 c_2) & -(b_1 c_3 - b_3 c_1) & (b_1 c_2 - b_2 c_1) \end{vmatrix}. Dezvoltând și simplificând, obținem (a1c1+a2c2+a3c3)(b1i⃗+b2j⃗+b3k⃗)−(a1b1+a2b2+a3b3)(c1i⃗+c2j⃗+c3k⃗)(a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3)(b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)(c_1\vec{i} + c_2\vec{j} + c_3\vec{k}), adică (a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}.
32 puncte
Concluzia că identitatea este demonstrată pentru orice vectori.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.