MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorArii și volume
Un rezervor cilindric circular drept are volumul fix VV. Costul unitar al materialului pentru baze este de 2p2p u.m./m², iar pentru suprafața laterală este de pp u.m./m², cu p>0p>0. Exprimați costul total CC în funcție de raza bazei rr, determinați valoarea lui rr care minimizează costul, și studiați monotonie și convexitate pentru funcția C(r)C(r).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Exprimarea înălțimii hh în funcție de rr din volum: V=πr2hV=\pi r^2 h deci h=Vπr2h=\frac{V}{\pi r^2}.
22 puncte
Scrierea funcției cost: C(r)=2p⋅2πr2+p⋅2πrh=4pπr2+2pπr⋅Vπr2=4pπr2+2pVrC(r)=2p \cdot 2\pi r^2 + p \cdot 2\pi r h = 4p\pi r^2 + 2p\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 4p\pi r^2 + \frac{2pV}{r}, cu r>0r>0.
32 puncte
Calculul derivatei întâi: C′(r)=8pπr−2pVr2C'(r)=8p\pi r - \frac{2pV}{r^2}.
42 puncte
Găsirea punctului critic: rezolvarea C′(r)=0C'(r)=0 adică 8pπr=2pVr28p\pi r = \frac{2pV}{r^2} deci r3=V4πr^3 = \frac{V}{4\pi} deci r=V4π3r=\sqrt[3]{\frac{V}{4\pi}}.
51 punct
Studiul monotoniei: C′(r)<0C'(r)<0 pentru r<V4π3r<\sqrt[3]{\frac{V}{4\pi}} (funcție descrescătoare) și C′(r)>0C'(r)>0 pentru r>V4π3r>\sqrt[3]{\frac{V}{4\pi}} (funcție crescătoare).
61 punct
Studiul convexității: calculul derivatei a doua C′′(r)=8pπ+4pVr3>0C''(r)=8p\pi + \frac{4pV}{r^3} >0 pentru r>0r>0, deci funcția este convexă pe domeniul său de definiție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.