MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O cutie fără capac are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul cutiei este de 32 dm³. Determinați dimensiunile cutiei astfel încât aria suprafeței totale să fie minimă. Studiați monotonia și convexitatea funcției care reprezintă aria în funcție de latura bazei și arătați că punctul critic corespunde unui minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Definește variabilele: fie xx latura bazei (în dm) și hh înălțimea (în dm). Volumul este x2h=32x^2 h = 32, deci h=32x2h = \frac{32}{x^2}. Aria suprafeței totale (baza plus patru fețe laterale) este A(x)=x2+4xh=x2+4x⋅32x2=x2+128xA(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}, pentru x>0x>0.
22 puncte
Calculează derivata întâi A′(x)=2x−128x2A'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}.
32 puncte
Rezolvă ecuația A′(x)=0A'(x)=0: 2x−128x2=0⇒2x3=128⇒x3=64⇒x=42x - \frac{128}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 128 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x=4 dm.
42 puncte
Calculează derivata a doua A′′(x)=2+256x3A''(x) = 2 + \frac{256}{x^3}. Pentru x>0x>0, A′′(x)>0A''(x) > 0, deci funcția AA este convexă pe (0,∞)(0,\infty), iar punctul critic x=4x=4 corespunde unui minim.
52 puncte
Studiază monotonia lui AA folosind semnul lui A′(x)A'(x): pentru x∈(0,4)x \in (0,4), A′(x)<0A'(x) < 0 (funcție descrescătoare), iar pentru x∈(4,∞)x \in (4,\infty), A′(x)>0A'(x) > 0 (funcție crescătoare). Confirmă că x=4x=4 este punct de minim. Apoi, determină dimensiunile: x=4x=4 dm, h=3242=2h = \frac{32}{4^2} = 2 dm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.