MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriNumere Complexe
Se consideră numerele complexe z1=3+4iz_1 = 3+4i și z2=1−2iz_2 = 1-2i. a) Reprezentați-le ca vectori în planul complex și calculați suma lor vectorială. b) Demonstrați identitatea ∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2(∣z1∣2+∣z2∣2)|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2). c) Utilizați această identitate pentru a calcula ∣z1+z2∣|z_1 + z_2|, știind că ∣z1∣=5|z_1| = 5 și ∣z2∣=5|z_2| = \sqrt{5}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Vectorii corespunzători sunt v⃗1=(3,4)\vec{v}_1 = (3,4) și v⃗2=(1,−2)\vec{v}_2 = (1,-2). Suma vectorială este v⃗1+v⃗2=(3+1,4−2)=(4,2)\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = (3+1, 4-2) = (4,2).
24 puncte
Fie z1=a+biz_1 = a+bi și z2=c+diz_2 = c+di. Atunci ∣z1+z2∣2=(a+c)2+(b+d)2|z_1 + z_2|^2 = (a+c)^2 + (b+d)^2 și ∣z1−z2∣2=(a−c)2+(b−d)2|z_1 - z_2|^2 = (a-c)^2 + (b-d)^2. Sumând, obținem 2(a2+b2+c2+d2)=2(∣z1∣2+∣z2∣2)2(a^2+b^2+c^2+d^2) = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2).
33 puncte
Din identitate, ∣z1+z2∣2=2(∣z1∣2+∣z2∣2)−∣z1−z2∣2|z_1 + z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2) - |z_1 - z_2|^2. Cu ∣z1∣=5|z_1| = 5, ∣z2∣=5|z_2| = \sqrt{5}, și calculând ∣z1−z2∣=(3−1)2+(4+2)2=4+36=40=210|z_1 - z_2| = \sqrt{(3-1)^2 + (4+2)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}, avem ∣z1+z2∣2=2(25+5)−40=60−40=20|z_1 + z_2|^2 = 2(25 + 5) - 40 = 60 - 40 = 20, deci ∣z1+z2∣=20=25|z_1 + z_2| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.