MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−4x+3)f(x) = e^{-x} (x^2 - 4x + 3). Studiați monotonia și convexitatea funcției ff și determinați punctele de extrem local și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata de ordinul I: f′(x)=−e−x(x2−4x+3)+e−x(2x−4)=e−x(−x2+6x−7)f'(x) = -e^{-x}(x^2 - 4x + 3) + e^{-x}(2x - 4) = e^{-x}(-x^2 + 6x - 7).\n
23 puncte
Se rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x)=0: −x2+6x−7=0⇒x2−6x+7=0⇒x=3±2-x^2 + 6x - 7 = 0 \Rightarrow x^2 - 6x + 7 = 0 \Rightarrow x = 3 \pm \sqrt{2}.\n
32 puncte
Se studiază semnul lui f′(x)f'(x): pe intervalele (−∞,3−2)(-\infty, 3-\sqrt{2}) și (3+2,∞)(3+\sqrt{2}, \infty) funcția este descrescătoare, iar pe (3−2,3+2)(3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}) este crescătoare. Punctele x=3±2x = 3 \pm \sqrt{2} sunt puncte de extrem (minim la x=3−2x=3-\sqrt{2} și maxim la x=3+2x=3+\sqrt{2}).\n
42 puncte
Se calculează derivata de ordinul II: f′′(x)=e−x(x2−8x+13)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 8x + 13). Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0: x2−8x+13=0⇒x=4±3x^2 - 8x + 13 = 0 \Rightarrow x = 4 \pm \sqrt{3}. Acestea sunt punctele de inflexiune, unde funcția își schimbă convexitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.