MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorLogaritmi
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x)−x+1f(x) = \ln(x) - x + 1. Arătați că funcția este strict crescătoare pe (0,1](0,1] și strict descrescătoare pe [1,∞)[1,\infty). Demonstrați că f(x)≤0f(x) \leq 0 pentru orice x>0x > 0. Aplicați acest rezultat pentru a rezolva inecuația ln⁡(x2+1)≤x2\ln(x^2 + 1) \leq x^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm derivata f′(x)=1x−1=1−xxf'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}. Pentru x∈(0,1)x \in (0,1), 1−x>01-x > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff este strict crescătoare pe (0,1](0,1]. Pentru x∈(1,∞)x \in (1,\infty), 1−x<01-x < 0, deci f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff este strict descrescătoare pe [1,∞)[1,\infty).\n
23 puncte
Funcția ff are maximul la x=1x=1, cu f(1)=ln⁡(1)−1+1=0f(1) = \ln(1) - 1 + 1 = 0. Deoarece ff este crescătoare pe (0,1](0,1] și descrescătoare pe [1,∞)[1,\infty), rezultă că f(x)≤f(1)=0f(x) \leq f(1) = 0 pentru orice x>0x > 0.\n
33 puncte
Pentru inecuația ln⁡(x2+1)≤x2\ln(x^2 + 1) \leq x^2, observăm că x2+1>0x^2 + 1 > 0. Din f(t)≤0f(t) \leq 0 pentru t>0t > 0, adică ln⁡(t)≤t−1\ln(t) \leq t - 1, luăm t=x2+1t = x^2 + 1. Atunci ln⁡(x2+1)≤(x2+1)−1=x2\ln(x^2 + 1) \leq (x^2 + 1) - 1 = x^2, deci inecuația este adevărată pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.