MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorPolinoame
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. Determinați intervalele de monotonie (creștere/descreștere) și intervalele de convexitate/concavitate ale funcției. Apoi, găsiți punctul de pe graficul funcției unde tangenta este paralelă cu dreapta y=−3x+5y = -3x + 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se calculează derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: 3x2−6x=03x^2 - 6x = 0, deci x=0x=0 și x=2x=2.
22 puncte
Se analizează semnul lui f′(x)f'(x): pe intervalele (−∞,0)(-\infty,0) și (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0, deci ff este strict crescătoare; pe intervalul (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0, deci ff este strict descrescătoare.
32 puncte
Se calculează derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Se rezolvă f′′(x)=0f''(x)=0 pentru punctul de inflexiune: 6x−6=06x - 6 = 0, deci x=1x=1.
42 puncte
Se analizează semnul lui f′′(x)f''(x): pe intervalul (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff este concavă; pe intervalul (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff este convexă.
51 punct
Tangenta este paralelă cu dreapta y=−3x+5y=-3x+5 dacă panta este −3-3. Se rezolvă f′(x)=−3f'(x) = -3, adică 3x2−6x=−33x^2 - 6x = -3, de unde x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0, deci x=1x=1. Atunci f(1)=2f(1)=2, iar punctul căutat este (1,2)(1,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.