MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Costul total de producție pentru xx unități ale unui bun este dat de funcția C(x)=x3−6x2+15x+10C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 10, cu x≥0x \geq 0. Costul marginal este definit ca Cm(x)=C′(x)C_m(x) = C'(x). Să se studieze monotonia funcției cost marginal și să se determine intervalul în care costul marginal este descrescător. Să se afle punctul de inflexiune al funcției cost total. Apoi, folosind derivata, să se calculeze nivelul de producție care minimizează costul mediu, definit ca Cmed(x)=C(x)xC_{med}(x) = \frac{C(x)}{x} pentru x>0x>0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul costului marginal: Cm(x)=C′(x)=3x2−12x+15C_m(x) = C'(x) = 3x^2 - 12x + 15.
23 puncte
Studiul monotonicității lui CmC_m: derivata lui CmC_m este Cm′(x)=6x−12C_m'(x) = 6x - 12. Cm′(x)=0⇒x=2C_m'(x)=0 \Rightarrow x=2. Pentru x∈[0,2)x \in [0,2), Cm′(x)<0C_m'(x)<0 deci CmC_m descrescător; pentru x>2x>2, Cm′(x)>0C_m'(x)>0 deci CmC_m crescător. Intervalul în care costul marginal este descrescător este [0,2)[0,2).
32 puncte
Convexitatea funcției cost total: C′′(x)=6x−12C''(x) = 6x - 12. C′′(x)=0⇒x=2C''(x)=0 \Rightarrow x=2. Pe [0,2)[0,2), C′′(x)<0C''(x)<0 deci CC concavă; pe (2,∞)(2,\infty), C′′(x)>0C''(x)>0 deci CC convexă. Punct de inflexiune la x=2x=2, C(2)=23−6⋅22+15⋅2+10=8−24+30+10=24C(2)= 2^3 - 6\cdot2^2 + 15\cdot2 + 10 = 8 - 24 + 30 + 10 = 24.
43 puncte
Minimizarea costului mediu: Cmed(x)=x3−6x2+15x+10x=x2−6x+15+10xC_{med}(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 15x + 10}{x} = x^2 - 6x + 15 + \frac{10}{x} pentru x>0x>0. Derivata: Cmed′(x)=2x−6−10x2C_{med}'(x) = 2x - 6 - \frac{10}{x^2}. Setăm Cmed′(x)=0⇒2x−6−10x2=0⇒2x3−6x2−10=0⇒x3−3x2−5=0C_{med}'(x)=0 \Rightarrow 2x - 6 - \frac{10}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 - 6x^2 - 10 = 0 \Rightarrow x^3 - 3x^2 - 5 = 0. Se observă că ecuația are o rădăcină reală pozitivă (de exemplu, testând: x=3x=3 dă 27−27−5=−527 - 27 - 5 = -5, x=4x=4 dă 64−48−5=1164 - 48 - 5 = 11, deci rădăcina în (3,4)(3,4)). Derivata a doua: Cmed′′(x)=2+20x3>0C_{med}''(x) = 2 + \frac{20}{x^3} > 0 pentru x>0x>0, deci punctul critic este minim local și global pe (0,∞)(0,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.