MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Să se determine intervalele de monotonie, punctele de extrem local, intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune. Apoi, să se studieze dacă există a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât funcția g(x)=f(x)+ax+bg(x) = f(x) + ax + b să aibă un punct de inflexiune în x=1x=1 și să fie convexă pe (−∞,1)(-\infty, 1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0 pentru a găsi punctele critice: x=0x=0 și x=2x=2.
22 puncte
Studiem semnul derivatei întâi: pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare; pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0 deci ff descrescătoare; pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0 deci ff crescătoare. Punctele de extrem: x=0x=0 este maxim local, f(0)=2f(0)=2; x=2x=2 este minim local, f(2)=−2f(2)=-2.
33 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0 pentru a găsi punctele de inflexiune: x=1x=1. Studiem semnul derivatei a doua: pe (−∞,1)(-\infty,1), f′′(x)<0f''(x)<0 deci ff concavă; pe (1,∞)(1,\infty), f′′(x)>0f''(x)>0 deci ff convexă. Punctul de inflexiune este x=1x=1, f(1)=0f(1)=0.
42 puncte
Pentru g(x)=f(x)+ax+bg(x) = f(x) + ax + b, avem g′′(x)=f′′(x)=6x−6g''(x) = f''(x) = 6x-6. Condiția pentru punct de inflexiune în x=1x=1 este g′′(1)=0g''(1)=0, ceea ce este adevărat. Pentru convexitate pe (−∞,1)(-\infty,1), trebuie g′′(x)>0g''(x)>0, dar g′′(x)=6x−6g''(x)=6x-6 este negativ pe acest interval. Prin urmare, nu există aa și bb care să îndeplinească condiția, deoarece convexitatea nu se modifică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.