MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră vectorii v1⃗=(1,2,3)\vec{v_1} = (1,2,3), v2⃗=(2,5,7)\vec{v_2} = (2,5,7) și v3⃗=(1,1,a)\vec{v_3} = (1,1,a) în spațiul tridimensional. Să se determine valorile reale ale lui aa pentru care vectorii sunt liniar dependenți. Pentru a=2a=2, să se exprime vectorul b⃗=(4,9,13)\vec{b} = (4,9,13) ca o combinație liniară a vectorilor v1⃗,v2⃗,v3⃗\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Vectorii sunt liniar dependenți dacă determinantul matricei formate din coordonatele lor este zero. Matricea este (12125137a)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 7 & a \end{pmatrix}. Calculăm determinantul: 1⋅5⋅a+2⋅1⋅3+1⋅2⋅7−1⋅5⋅3−2⋅2⋅a−1⋅1⋅7=5a+6+14−15−4a−7=a−21 \cdot 5 \cdot a + 2 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 7 - 1 \cdot 5 \cdot 3 - 2 \cdot 2 \cdot a - 1 \cdot 1 \cdot 7 = 5a +6 +14 -15 -4a -7 = a -2. Setăm a−2=0a-2=0, deci a=2a=2. Pentru a=2a=2, vectorii sunt liniar dependenți.
26 puncte
Pentru a=2a=2, avem v3⃗=(1,1,2)\vec{v_3} = (1,1,2). Căutăm scalarii x,y,zx,y,z astfel încât xv1⃗+yv2⃗+zv3⃗=b⃗x\vec{v_1} + y\vec{v_2} + z\vec{v_3} = \vec{b}. Aceasta conduce la sistemul: {x+2y+z=42x+5y+z=93x+7y+2z=13\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x + 5y + z = 9 \\ 3x + 7y + 2z = 13 \end{cases} Scădem prima ecuație din a doua: (2x+5y+z)−(x+2y+z)=9−4⇒x+3y=5(2x+5y+z) - (x+2y+z) = 9-4 \Rightarrow x+3y=5. Scădem prima ecuație înmulțită cu 2 din a treia: 3x+7y+2z−2(x+2y+z)=13−8⇒x+3y=53x+7y+2z - 2(x+2y+z) = 13-8 \Rightarrow x+3y=5. Sistemul este compatibil; alegem y=0y=0, atunci x=5x=5 și din prima ecuație 5+0+z=4⇒z=−15+0+z=4 \Rightarrow z=-1. Deci o combinație liniară este b⃗=5v1⃗−v3⃗\vec{b} = 5\vec{v_1} - \vec{v_3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.